Prędkość grupowa
W module tym wyjaśnimy pojęcie prędkości grupowej, wspomniane w module Prędkość fal i równanie falowe.
Rozważmy, dwie poprzeczne fale sinusoidalne o zbliżonych częstotliwościach i długościach fal (zob. Rys. 1 ) opisane równaniami
(1)
\( \begin{matrix}{y_{{1}}=A\sin\left[(\omega +{d\omega})t-(k+{dk})x\right]}\\ y_{{2}}=A\sin\left[(\omega -{d\omega})t-(k-{dk})x\right] \end{matrix} \)
Sumą takich dwóch fal jest fala
\( y=y_{{1}}+y_{{2}}=2A\cos\left[({d\omega})t-({dk})x\right]\cos({\omega t}-{kx}) \)
Rysunek 1: Dwie fale sinusoidalne \( y_{1} \) i \( y_{2} \) o zbliżonych częstotliwościach i długościach fal; obwiednia ich sumy (linia przerywana) rozchodzi się z prędkością grupową
Na rysunku widzimy, że fala sumaryczna \( y_{1} \) + \( y_{2 } \)jest modulowana, a z równania ( 2 ) wynika, że funkcja modulująca ma postać
(3)
\( A(x,t)=2A\cos\left[({d\omega })t-({dk})x\right] \)
Prędkość paczki fal (prędkość ruchu obwiedni) wyznaczamy analizując jak przemieszcza się w czasie wybrany punkt obwiedni (na przykład maksimum). Odpowiada to warunkowi
(4)
\( {({d\omega })t-({dk})x=\text{const.}} \)
Różniczkując to równanie względem czasu
(5)
\( {d\omega }-{dk}\frac{{dx}}{{dt}}=0 \)
otrzymujemy wyrażenie na prędkość grupową
\( v_{{{gr}}}=\frac{{dx}}{{dt}}=\frac{{d\omega}}{{dk}} \)
Prędkość grupowa jest na ogół różna od prędkości fal składowych.